问了24名大学生，没有人会做这道小学数学题（19年10月14日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第996天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

解题所用知识不超过小学5年级。

题目虽然难度较高，

但解题思路可用在高中的函数中，

花半小时学通这道题，

比泛泛的做10道题更有用。

题目（超5星难度）：

所谓密码，就是设计一套规则，对每个数字进行变化，数a加密后变成数b，a和b可以相同也可以不同，但不同的两个数加密后的数一定不同。如果对b进行加密后得到c，则称c为对a的二次加密，以此类推。比如对每个自然数n,可设计加密规则为2n,加密二次后变为4n，加密三次后变为8n。

某国打算设计一套密码，使对于每一个自然数n,经过一次加密后还是一个自然数，经过二次加密后都等于n+99。请问这种密码能否设计成功？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明这种密码能设计成功，

只需要构造出一种设计方法；

要说明这种密码不能设计成功，

需要给出严格的证明。

我们前面多次强调，

这类题大多是选择严格证明。

由于自然数是无限多的，

故应该想办法将其限制在有限范围，

然后在该范围内看能否推出矛盾。

为解题方便，

将n加密后的结果记作<n>，

此时原问题转化为新定义运算问题。

总的解题思路是：

假设这种密码能设计成功，

先考虑n+99和n加密后的关系；

再考虑对于任意自然数k,

n+99k和n加密以后的关系；

最后考虑对于小于99的自然数a,

其加密以后的结果，

想办法推出矛盾。

步骤1：

先思考第一个问题，

对于自然数n和k,

n+99k和n加密后有何关系？

假设对n加密后得到m,

由于n+99是对n二次加密的结果，

故对n+99再进行加密，

就是对n进行三次加密，

就相当于对m进行二次加密，

由于对m二次加密得到的是m+99，

故对n+99进行加密，

等于对n加密后的结果加上99。

写成数学表达式即<n+99>=<n>+99。

这是一个标准的递推关系，

因此对于自然数k，<n+99k>=<n>+99k。

注：步骤1中的关系可以用来缩小范围，

只要确定了小于99的自然数加密结果，

就能确定所有自然数的加密结果。

步骤2：

再思考第二个问题，

将范围限制在小于99的自然数考虑。

对一个小于99的自然数a，

设<a>除以99的余数为b，

其中b也是一个小于99的自然数。

根据余数定义存在自然数k,

使<a>=99k+b。

则对99k+b加密等于对a二次加密，

由于对a二次加密结果是a+99，

故<99k+b>=a+99。

另一方面根据步骤1的结论，

<99k+b>=<b>+99k,

则：a+99=<b>+99k。

注意到<b>是一个自然数，

而a+99小于99+99=198。

这说明99k小于198,

故k只可能是0或1，

下面将对k的取值分别进行讨论：

当k=0时,

此时有<a>=b,且<b>=a+99,

由于不同的两个数加密后的数一定不同，

这说明此时a和b不可能相同；

当k=1时，

此时有<b+99>=a+99,

根据步骤1的结论有<b+99>=<b>+99,

二者结合可得<b>=a，

另一方面有<a>=b+99,

由于不同的两个数加密后的数一定不同，

这说明此时a和b不可能相同。

因此a和b不可能相同。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

假设这种密码能设计成功，

则根据步骤2的结论，

小于98的所有自然数一定两两配对，

要么<a>=b,且<b>=a+99,

要么<b>=a，且<a>=b+99。

由于小于98的自然数共有99个是奇数，

两两配对之后必然会多出一个，

这与步骤2中a,b不同的结论矛盾。

出现矛盾的原因是假设不成立，

所以这种密码不能设计成功。

思考题（3星难度）：

原题目中改一个数字。

某国打算设计一套密码，使对于每一个自然数n,经过一次加密后还是一个自然数，经过二次加密后都等于n+100。请问这种密码能否设计成功？

微信回复“20191014”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

江湖传说：在右下角点个“在看”，您会变的更好看。

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